【C++航海王：追寻罗杰的编程之路】关联式容器的底层结构——AVL树

目录

1 -> 底层结构

2 -> AVL树

2.1 -> AVL树的概念

2.2 -> AVL树节点的定义

2.3 -> AVL树的插入

2.4 -> AVL树的旋转

2.5 -> AVL树的验证

2.6 -> AVL树的性能

1 -> 底层结构

在上文中对对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

2 -> AVL树

2.1 -> AVL树的概念

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但如果数据有序或者接近有序的二叉搜索树将退化成单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1(需要对树中的节点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索的长度。

一棵AVL树或者空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个节点，其高度可保持在O(n)，搜索时间复杂度O(n)。

2.2 -> AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子
};

2.3 -> AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点。
  2. 调整节点的平衡因子。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

};

2.4 -> AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

	/*
  	在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
	子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，
	只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
  	即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，
	只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，
	旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
	在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  	2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
       如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		// pSubL: pParent的左孩子
		// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;

		// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		// 60 作为 30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pPParent = pParent->_pParent;

		// 更新60的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		// 更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pPParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}
};

2. 新节点插入较高右子树的右侧——右右：左单旋

实现参考右单旋。

3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

	//1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋
	/*
  	在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
	子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，
	只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
  	即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，
	只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，
	旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
	在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  	2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
       如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		// pSubL: pParent的左孩子
		// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;

		// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		// 60 作为 30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pPParent = pParent->_pParent;

		// 更新60的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		// 更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pPParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}

	//3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋
	// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
	void _RotateLR(PNode pParent)
	{
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
		int bf = pSubLR->_bf;

		// 先对30进行左单旋
		_RotateL(pParent->_pLeft);

		// 再对90进行右单旋
		_RotateR(pParent);
		if (1 == bf)
			pSubL->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			pParent->_bf = 1;
	}

};

4. 新节点插入较高右子树的左侧——右左：先右单旋再左单旋

参考左右双旋。

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分为以下情况考虑：

1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR。

  • 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋。
  • 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左单旋。

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL。

  • 当pSubL的平衡因子为-1时，执行右单旋。
  • 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右单旋。

旋转完成后，原pParent为根的子树高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

2.5 -> AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为两步：

1. 验证其为二叉搜索树

        如果中序遍历可以得到一个有序的序列，就说明其为二叉搜索树。

2. 验证其为平衡树

  • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)。
  • 节点的平衡因子是否计算正确。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include <iostream>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}

	AVLTreeNode<T>* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;				  // 该节点的平衡因子

	bool Insert(const T& data)
	{
		// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中

		// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，
		//	  此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

		 /*
		 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
		 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
		  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
		  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
		  
		 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
		  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
			 成0，此时满足
		     AVL树的性质，插入成功
		  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
			 新成正负1，此
		     时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
		  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
			 行旋转处理
		 */
		while (pParent)
		{
			// 更新双亲的平衡因子
			if (pCur == pParent->_pLeft)
				pParent->_bf--;
			else
				pParent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (0 == pParent->_bf)
			{
				break;
			}
			else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
			{
				// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
				// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
				pCur = pParent;
				pParent = pCur->_pParent;
			}
			else
			{
				// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
				// 为根的树进行旋转处理
				if (2 == pParent->_bf)
				{
					// ...
				}
				else
				{
					// ...
				}
			}
		}
		return true;
	}

	//1. 新节点插入较高左子树的左侧——左左：右单旋
	/*
  	在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
	子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，
	只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
  	即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，
	只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
	右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，
	旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
	在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  	1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  	2. 60可能是根节点，也可能是子树如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
       如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
	*/
	void _RotateR(PNode pParent)
	{
		// pSubL: pParent的左孩子
		// pSubLR: pParent左孩子的右孩子
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
		pParent->_pLeft = pSubLR;

		// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
		if (pSubLR)
			pSubLR->_pParent = pParent;

		// 60 作为 30的右孩子
		pSubL->_pRight = pParent;

		// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
		PNode pPParent = pParent->_pParent;

		// 更新60的双亲
		pParent->_pParent = pSubL;

		// 更新30的双亲
		pSubL->_pParent = pPParent;

		// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
		if (NULL == pPParent)
		{
			_pRoot = pSubL;
			pSubL->_pParent = NULL;
		}
		else
		{
			// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
			if (pPParent->_pLeft == pParent)
				pPParent->_pLeft = pSubL;
			else
				pPParent->_pRight = pSubL;
		}

		// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
		pParent->_bf = pSubL->_bf = 0;
	}

	//3. 新节点插入较高左子树的右侧——左右：先左单旋再右单旋
	// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
	void _RotateLR(PNode pParent)
	{
		PNode pSubL = pParent->_pLeft;
		PNode pSubLR = pSubL->_pRight;

		// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
		int bf = pSubLR->_bf;

		// 先对30进行左单旋
		_RotateL(pParent->_pLeft);

		// 再对90进行右单旋
		_RotateR(pParent);
		if (1 == bf)
			pSubL->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			pParent->_bf = 1;
	}

	//验证是否为AVL树
	int _Height(PNode pRoot);
	bool _IsBalanceTree(PNode pRoot)
	{
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == pRoot) return true;

		// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
		int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
			return false;

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot->_pRight);
	}

};

2.6 -> AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(n)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树。

感谢各位大佬支持！！！

互三啦！！！

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短视频父亲：成都柏煜文化传媒有限公司

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短视频父亲&#xff1a;镜头背后的温情与力量 在这个信息爆炸的时代&#xff0c;短视频以其短小精悍、直观生动的特点&#xff0c;迅速占据了人们碎片化的时间&#xff0c;成为情感交流与文化传播的重要平台。而在这些纷繁复杂的短视频中&#xff0c;有一类内容尤为触动人心—…
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如何让自动化测试更加灵活简洁？

如何让自动化测试更加灵活简洁？

简化的架构对于自动化测试和主代码一样重要。冗余和不灵活性可能会导致一些问题&#xff1a;比如 UI 中的任何更改都需要更新多个文件&#xff0c;测试可能在功能上相互重复&#xff0c;并且支持新功能可能会变成一项耗时且有挑战性的工作来适应现有测试。 页面对象模式如何理…
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ELK日志系统和Filebeat采集器的学习总结

ELK日志系统和Filebeat采集器的学习总结

ELK是ElasticSerach、Logstash、Kina Logstash负责采集数据&#xff0c;Logstash有三个插件&#xff0c;input、filter、output&#xff0c;filter插件作用是对采集的数据进行处理&#xff0c;过滤的&#xff0c;因此filter插件可以选&#xff0c;可以不用配置。 ElasticSear…
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ASUS/华硕枪神5 G533Q G733Q系列 原厂win10系统 工厂文件 带F12 ASUS Recovery恢复

ASUS/华硕枪神5 G533Q G733Q系列 原厂win10系统 工厂文件 带F12 ASUS Recovery恢复

华硕工厂文件恢复系统 &#xff0c;安装结束后带隐藏分区&#xff0c;一键恢复&#xff0c;以及机器所有驱动软件。 系统版本&#xff1a;Windows10 原厂系统下载网址&#xff1a;http://www.bioxt.cn 需准备一个20G以上u盘进行恢复 请注意&#xff1a;仅支持以上型号专用…
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Facebook广告被拒：常见原因以及避免屏蔽的方法

Facebook广告被拒：常见原因以及避免屏蔽的方法

大多数情况下&#xff0c;广告被屏蔽是因为违反了规则&#xff0c;这不仅仅是因为审核因素。有些规则并不明显&#xff0c;也没有在任何地方指定。例如&#xff0c;在广告中使用广告政策中未列出的停用词&#xff1b;审核算法确定照片描绘的模特过于暴露。下面小编将为你介绍Fa…
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鸿蒙系统的开发与学习

鸿蒙系统的开发与学习

1.开发工具的下载 DevEco Studio-HarmonyOS Next Beta版-华为开发者联盟 安装、环境配置时&#xff0c;建议 自定义目录 注意&#xff1a;路径中不要有 中文、特殊字符。 2.ArkTS基础总结 1&#xff09;三种数据类型 ① string 字符串&#xff1a;描述信息 ② number 数…
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【MySQL】mysql访问

【MySQL】mysql访问

mysql访问 1.引入MySQL 客户端库2.C/C 进行增删改3.查询的处理细节4.图形化界面访问数据库4.1下载MYSQL Workbench4.2MYSQL Workbench远程连接数据库 点赞&#x1f44d;&#x1f44d;收藏&#x1f31f;&#x1f31f;关注&#x1f496;&#x1f496; 你的支持是对我最大的鼓励&a…
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数据特征采样在 MySQL 同步一致性校验中的实践

数据特征采样在 MySQL 同步一致性校验中的实践

作者&#xff1a;vivo 互联网存储研发团队 - Shang Yongxing 本文介绍了当前DTS应用中&#xff0c;MySQL数据同步使用到的数据一致性校验工具&#xff0c;并对它的实现思路进行分享。 一、背景 在 MySQL 的使用过程中&#xff0c;经常会因为如集群拆分、数据传输、数据聚合等…
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C++ 仿QT信号槽二

C++ 仿QT信号槽二

// 实现原理 // 每个signal映射到bitset位&#xff0c;全集 // 每个slot做为signal的bitset子集 // signal全集触发&#xff0c;标志位有效 // flip将触发事件队列前置 // slot检测智能指针全集触发的标志位&#xff0c;主动运行子集绑定的函数 // 下一帧对bitset全集进行触发清…
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CUDA编程基础

CUDA编程基础

文章目录 1、GPU介绍2、CUDA程序进行编译3、CUDA线程模型3.1、一维网格一维线程块3.2、二维网格二维线程块3.3、三维网格三维线程块3.3、不同组合形式 4、nvcc编译流程5、CUDA程序基本架构6、错误检测函数6.1、运行时API错误代码6.2、检查核函数 7、CUDA记时7.1、记时代码7.2、…
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基于Python爬虫的城市二手房数据分析可视化

基于Python爬虫的城市二手房数据分析可视化

基于Python爬虫的城市二手房数据分析可视化 一、前言二、数据采集（爬虫，附完整代码）三、数据可视化（附完整代码）3.1 房源面积-总价散点图3.2 各行政区均价3.3 均价最高的10个小区3.4 均价最高的10个地段3.5 户型分布3.6 词云图四、如何更换城市一、前言 二手房具有价格普…
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博途通讯笔记1：1200与1200之间S7通讯

博途通讯笔记1：1200与1200之间S7通讯

目录 一、添加子网连接二、创建PUT GET三、各个参数的意义 一、添加子网连接 二、创建PUT GET 三、各个参数的意义
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换根dp，CF 633F - The Chocolate Spree

换根dp，CF 633F - The Chocolate Spree

一、题目 1、题目描述 2、输入输出 2.1输入 2.2输出 3、原题链接 633F - The Chocolate Spree 二、解题报告 1、思路分析 2600的题&#xff0c;但是不算很困难。 先考虑暴力做法&#xff0c;如何得到两条不相交的路径&#xff1f; 枚举删除的边&#xff0c;得到两棵子树…
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idea集成tomcat报错kotlin/Result

idea集成tomcat报错kotlin/Result

记一次报错 解决办法
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鼠标自动点击器怎么用？鼠标连点器入门教程！

鼠标自动点击器怎么用？鼠标连点器入门教程！

鼠标自动点击器是适用于Windows电脑的自动执行鼠标点击操作的工具&#xff0c;主要用于模拟鼠标点击操作&#xff0c;实现鼠标高速点击的操作。通过模拟鼠标点击&#xff0c;可以在用户设定的位置、频率和次数下自动执行点击动作。 鼠标自动点击器主要的应用场景&#xff1a; …
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数据操作10-15题（30 天 Pandas 挑战）

数据操作10-15题（30 天 Pandas 挑战）

数据操作 1. 相关知识点1.12 分组与连表1.13 排名 2. 题目2.10 第N高的薪水2.11 第二高的薪水2.12 部门工资最高的员工2.13 分数排名2.14 删除重复的电子邮箱2.15 每个产品在不同商店的价格 1. 相关知识点 1.12 分组与连表 分组max_salaryemployee.groupby(departmentId)[sal…
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超简易SpringBoot工程构建与部署 ( 图解 - 零基础专属 )

超简易SpringBoot工程构建与部署 ( 图解 - 零基础专属 )

目录 简单了解MVC架构 模型&#xff08;Model&#xff09; 视图&#xff08;View&#xff09; 控制器&#xff08;Controller&#xff09; 基本环境准备 MYSQL建库建表 创库创表 智能生成数据 创建SpringBoot项目 配置pox.xml 代码提供 补充(IDEA的Maven要配置正确…
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用kimi和claude自动生成时间轴图表

用kimi和claude自动生成时间轴图表

做时间轴图表并不难&#xff0c;但是很麻烦&#xff0c;先要大量收集相关事件&#xff0c;然后在一些图表软件中反复调整操作。现在借助AI工具&#xff0c;可以自动生成了。 首先&#xff0c;在kimi中输入提示词来获取某个企业的大事记&#xff1a; 联网检索&#xff0c;元语…
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前后端数据交互流程

前后端数据交互流程

一、前言 用户在浏览器访问一个网站时&#xff0c;会有前后端数据交互的过程&#xff0c;前后端数据交互也有几种的情况&#xff0c;一下就简单的来说明一下 二、原理 介绍前后端交互前先来了解一下浏览器的功能&#xff0c;浏览器通过渲染引擎和 JavaScript 引擎协同工作&am…
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